数理学院王晚生教授团队在SIAM Journal on Scientific Computing上发表最新研究成果

近日，数理学院王晚生教授团队在国际顶尖应用数学期刊之一的SIAM Journal on Scientific Computing上发表了题为“Deep Learning Numerical Methods for High-Dimensional Quasilinear PIDEs and Coupled FBSDEs with Jumps”的研究论文。该研究提出了一种新颖的深度学习算法，旨在高效求解高维拟线性抛物积分微分方程（PIDEs）和带跳的耦合正倒向随机微分方程（FBSDEJs）。这项研究突破了传统数值方法在高维问题中遭遇的“维数灾难”瓶颈，为金融数学、随机最优控制等领域的复杂问题提供了实用的计算方案。 

PIDEs 和 FBSDEJs 是随机最优控制和金融数学等领域中的关键数学模型。不过这些模型的解析解极难获得，其数值求解成为唯一的手段。然而，对PIDEs的数值求解，现有的传统网格类方法由于计算复杂度随着维度的增加呈指数级增长，难以有效应对高维问题；同时对于耦合的FBSDEJs，由于其时间上的正倒向耦合，传统的数值计算方法将非常复杂。 

王晚生教授团队提出的深度学习算法（Deep FBSDE method）巧妙地应对了这些挑战。该方法的核心思想包括三个步骤：首先，利用非线性费曼-卡茨公式（nonlinear Feynman-Kac formula）将高维PIDE问题转化为耦合的FBSDEJ问题；其次，将此FBSDEJ问题视为一个随机控制问题，并创新性地引入一对深度神经网络，分别用于逼近解的梯度和积分核；最后，通过最小化一个与终端条件相关的全局损失函数来训练神经网络，从而获得方程的解。 

该研究工作的另一项重要贡献在于其严谨的理论分析。研究团队为该深度学习算法提供了完整的误差估计，通过分析马尔可夫迭代的收敛性、时间离散化误差以及深度学习的模拟误差，证明了在神经网络通用逼近能力下，算法的近似误差可以收敛到零。这为深度学习方法在科学计算领域的应用提供了坚实的理论基础。 

该研究工作得到了国家自然科学基金重大研究计划、国家自然科学基金面上项目、上海市科学技术委员会科技创新行动计划等资金支持。

（供稿：数理学院）